Mathematischer Anhang: Differentialrechnung
In diesem Abschnitt wiederholen wir kurz einige zentrale Aspekte und Ideen der Differentialrechnung für Funktionen , insbesondere für den Fall . Hierbei geht es nich um eine mathematisch stringente Einführung sondern nur um das Zusammenstellen der für dieses Unterkapitel benötigten Ideen.
Skalare Felder und Vektorfelder
Eine Abbildung wird auch als skalares Feld bezeichnet. Sie ordnet jedem Punkt eines Raumes genau eine Zahl/einen Skalar zu. Beispiele sind die Temperatur in einem Raum, die Höhe über dem Meeresspiegel auf einer Landkarte oder der Luftdruck in der Atmosphäre.
Eine Abbildung wird auch als Vektorfeld bezeichnet. Sie ordnet jedem Punkt eines Raumes genau einen Vektor zu. Im Unterschied zu einem skalaren Feld besteht der Funktionswert also nicht nur aus einer einzelnen Zahl, sondern aus mehreren Komponenten. Beispiele sind die Geschwindigkeit eines strömenden Fluids, die Windrichtung und Windstärke an verschiedenen Orten oder ein Kraftfeld, das jedem Punkt im Raum eine Kraft mit Betrag und Richtung zuordnet.
Für ein Vektorfeld
schreibt man einen Punkt des Definitionsraums als Spaltenvektor
Dann hat das Vektorfeld die Form
Die Funktionen
heißen Komponentenfunktionen des Vektorfeldes.
Der Ableitungsbegriff im Mehrdimensionalen
Auch im Mehrdimensionalen spricht man von Ableitungen. Einzelne Ableitungen nach den Koordinaten heißen partielle Ableitungen. Die vollständige Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion heißt *totale Ableitung oder Differential.
Bei einem skalaren Feld wird sie häufig mithilfe des Gradienten dargestellt.
Der Gradient eines skalaren Feldes gibt an, in welche Richtung das Feld am stärksten zunimmt. Er ist also kein einzelner Zahlenwert, sondern ein Vektor. Für ein Feld lautet der Gradient:
Die Länge dieses Vektors beschreibt, wie stark die Zunahme in dieser Richtung ist. Anschaulich zeigt der Gradient auf einer Höhenkarte genau in die Richtung des steilsten Anstiegs.
Der Gradient ist also ein Spaltenvektor, der sich im Urbildraum der Funktion befindet. Für kann man den Gradienten z. B. wie folgt einzeichnen.